Knighthana
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生灭过程

生灭过程

生灭过程

我的理解将会和教科书上的不太一致,因此我也不能保证这里的理解一定是对的 ,如果与教材^1有冲突,那么以教材为准

“生灭过程”这个叫法是教科书上给出的,按照目前的实际使用体会而言,我更愿意称之为涨落过程、非跳跃过程一类的词汇。

如果我们将一个马尔可夫链按照“锁链”的形状绘制出来,成为一个一维的长链,

那么,我们认为一个“生灭过程”中的所有状态变化,都是每次只能由一个状态向其自身或者“左右相邻”的状态发生;

例如对于某一链状态的状态空间集合:

某一时刻,系统的状态是 ,那么下一时刻,系统的状态只能是

中的任意一个,要么从 状态转移为 状态,要么从 状态转移为 状态,要么保持 状态不变,只有这三种转移方式

既不允许从 状态跳跃到 状态,也不允许从 状态跳跃到 状态

“生”过程

第一种过程,从 状态转移到 状态

或者由“生”的字面意义理解,从 增加一个

为了避免照本宣科行为导致读者只见树木不见森林,不妨对这个公式做一些解释

首先,解释

含义是一个状态转移概率,就是“在极短暂时间 内,从 状态转移到 状态的概率”

是一个条件概率公式,含义是,在此时刻 ,系统的状态为 的条件下,系统下一时刻(也即极短暂的 时间后)的状态为 的概率

式子 的含义是,在时间 内,转移速率 (单位时间到达的顾客数,属于瞬时转移速率——又称为转移强度、转移密度——的一种),与时间 相乘,加上一个高阶无穷小量(可以忽略)

(2023-05-17更新): 经过询问老师“为什么一个算概率的公式里面会出现‘速率’”,老师的解答是,此处 的含义,可以理解为一种“带概率的转移速率”, 那么我的理解就是,这个过程是在一定概率下发生的,算出来的也就还是概率

“灭”过程

状态转移到 状态,也就是说,从 减少一个

与“生”过程相似的数学描述,只是将 这个表示增加的瞬时转移速率换成了 这个表示减少的瞬时转移速率

于是有

注意,此处的 含义是, 属于 但是不属于那个带0的集合,就是说不能光看这里的公式造一个 状态出来

“跳”过程

由于规定了生灭过程中不允许跳跃的出现,因此我们可以认为跳跃基本不发生,于是有

把这个高阶无穷小量忽略掉,我们认为这种情况不会发生

“不变”过程

不变就是保持原状,就是说,如果当前状态是 ,则下一时刻状态仍然为

之前绘制状态转移矩阵的时候,可以知道,这包含了进一出一和不进不出两种情况,

正难则反,将“不变”理解为上面所有变化事件的反事件,于是可以列出基于反事件的条件概率式:

总结

其实也没什么好总结的,生灭过程无外乎于此,逐次生一灭一,或者不变,仅此而已。

生灭过程之后将会成为一个简化工具,用来将复杂的过程变化简化,从而减少我们在研究排队问题的随机过程中需要考虑的情况。这是我目前个人的理解。

Knighthana

2023/05/06

更新:2023/05/17

参考资料

[1]曾勇,董丽华,马建峰.排队现象的建模、解析与模拟[M].西安:西安电子科技大学出版社,2011.9:9-14.