生灭过程

生灭过程

我的理解将会和教科书上的不太一致，因此我也不能保证这里的理解一定是对的 ，如果与教材^1有冲突，那么以教材为准

“生灭过程”这个叫法是教科书上给出的，按照目前的实际使用体会而言，我更愿意称之为涨落过程、非跳跃过程一类的词汇。

如果我们将一个马尔可夫链按照“锁链”的形状绘制出来，成为一个一维的长链，

那么，我们认为一个“生灭过程”中的所有状态变化，都是每次只能由一个状态向其自身或者“左右相邻”的状态发生；

例如对于某一链状态的状态空间集合：

$$\{0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \}$$

某一时刻，系统的状态是 $2$ ,那么下一时刻，系统的状态只能是

$$\{1 \quad 2 \quad 3 \}$$

中的任意一个，要么从 $2$ 状态转移为 $1$ 状态，要么从 $2$ 状态转移为 $3$ 状态，要么保持 $2$ 状态不变，只有这三种转移方式

既不允许从 $2$ 状态跳跃到 $0$ 状态，也不允许从 $2$ 状态跳跃到 $4$ 状态

“生”过程

第一种过程，从 $n$ 状态转移到 $n+1$ 状态

或者由“生”的字面意义理解，从 $n$ 增加一个

$$\begin{align} p_{n,n+1}(\Delta t) & = P\{N(t+\Delta t)=n+1|N(t)=n\} \\ & = \lambda \Delta t + \omicron (\lambda \Delta t),\quad \lambda > 0, n \in E \end{align}$$

为了避免照本宣科行为导致读者只见树木不见森林，不妨对这个公式做一些解释

首先，解释 $$p_{n,n+1}(\Delta t)$$

含义是一个状态转移概率，就是“在极短暂时间 $\Delta t$ 内，从 $n$ 状态转移到 $n+1$ 状态的概率”

而 $$P\{N(t+\Delta t)=n+1|N(t)=n\}$$ 是一个条件概率公式，含义是，在此时刻 $t$ ，系统的状态为 $n$ 的条件下，系统下一时刻（也即极短暂的 $\Delta t$ 时间后）的状态为 $n+1$ 的概率

式子 $$\lambda \Delta t + \omicron (\lambda \Delta t)$$ 的含义是，在时间 $\Delta t$ 内，转移速率 $\lambda$ （单位时间到达的顾客数，属于瞬时转移速率——又称为转移强度、转移密度——的一种），与时间 $\Delta t$ 相乘，加上一个高阶无穷小量（可以忽略）

(2023-05-17更新)： 经过询问老师“为什么一个算概率的公式里面会出现‘速率’”，老师的解答是，此处 $\lambda$ 与 $\mu$ 的含义，可以理解为一种“带概率的转移速率”， 那么我的理解就是，这个过程是在一定概率下发生的，算出来的也就还是概率

“灭”过程

从 $n$ 状态转移到 $n-1$ 状态，也就是说，从 $n$ 减少一个

与“生”过程相似的数学描述，只是将 $\lambda$ 这个表示增加的瞬时转移速率换成了 $\mu$ 这个表示减少的瞬时转移速率

于是有 $$\begin{align} p_{n,n-1}(\Delta t) & =P\{N (t+\Delta t) = n-1 | N(t) =n \} \\ & = \mu \Delta t+ \omicron ( \mu \Delta t), \quad \mu >0, n\in E/\{0\} \end{align}$$

注意，此处的 $n \in E / \{0\}$ 含义是， $n$ 属于 $E$ 但是不属于那个带0的集合，就是说不能光看这里的公式造一个 $-1$ 状态出来

“跳”过程

由于规定了生灭过程中不允许跳跃的出现，因此我们可以认为跳跃基本不发生，于是有

$$\begin{align} p_{i,j}(\Delta t) & =P\{N(t+\Delta t) =j | N(t)=i \} \\ & = \omicron(\Delta t), \quad |j-i| \ge 2, \quad j,i \in E \end{align}$$

把这个高阶无穷小量忽略掉，我们认为这种情况不会发生

“不变”过程

不变就是保持原状，就是说，如果当前状态是 $i$ ，则下一时刻状态仍然为 $i$

之前绘制状态转移矩阵的时候，可以知道，这包含了进一出一和不进不出两种情况，

正难则反，将“不变”理解为上面所有变化事件的反事件，于是可以列出基于反事件的条件概率式：

$$\begin{align} p_{i,i}(\Delta t) & =P\{ N(t+\Delta t)= i | N(t)=i \} \\ & = 1 - \sum_{j \ne i} p_{ij}(\Delta t) \\ & = 1 - (\lambda + \mu) \Delta t + \omicron (\Delta t), \quad j,i \in E \end{align}$$

总结

其实也没什么好总结的，生灭过程无外乎于此，逐次生一灭一，或者不变，仅此而已。

生灭过程之后将会成为一个简化工具，用来将复杂的过程变化简化，从而减少我们在研究排队问题的随机过程中需要考虑的情况。这是我目前个人的理解。

Knighthana

2023/05/06

更新：2023/05/17

参考资料

[1]曾勇，董丽华，马建峰.排队现象的建模、解析与模拟[M].西安：西安电子科技大学出版社,2011.9:9-14.