用牛顿-拉弗森迭代法求解平方根及其他

2023年04月02日 subject-note

牛顿-拉弗森方法是个很有用的方法，在没有计算器需要手算一些式子的时候，其它的运算可能只是需要多花点时间，但对于开平方一类运算必须要有一个数学工具才能开始求解

即便这个方法如此重要，我还是总会忘记，我记得高中的时候受“卡马克魔数”的影响，明明用C写过一个迭代法开平方的程序，还专门和系统自带的sqrt()函数比较过运行速度，但是如今又是全都忘了

今天就找资料，重新学一下这个东西。

核心的公式

手算开平方，核心的公式就一个：

$x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2-a}{2\cdot x_n}$

选择一个接近平方根的值作为 $x_0$ 代入 $x_n$ 开始第一遍计算，获得等式左边 $x_1$ 的值，将 $x_1$ 代入右侧算式得到 $x_2$ 的值，之后每次计算都会更接近 $x^2-a=0$ 的解

$y=f(x)$ 是函数的图像，对于 $y_0=f(x_0)$ ， $(x_0,y_0)$ 点是表示函数在 $x=x_0$ 处取值的点

$y=f'(x)$ 是斜率与函数图像在 $x$ 点处斜率的相等的一条直线

过定点直线的方程 $y-y_0=k(x-x_0)$

那么， $y-y_0=f'(x_0)\cdot(x-x_0)$ 就是一条过函数图像上 $(x_0,y_0)$ 处与函数图像相切的直线

求出直线与x轴的交点，也就是直线对应的方程在 $y=0$ 时的解，这个值是 $x_1$

然后对 $x_1$ 重复一遍上述过程得到 $x_2$

例如，对于 $x^2=3$ 求x的平方根

先将其转换成 $f(x)=x^2-3$ 的形式

猜想解在1附近，于是假设 $x_0=1$ 画一张图看看

然后根据直线与x轴的交点，代入 $x_1=2$ ，再画一张图

可以看到，随意取了一个1，仅仅经过两次迭代，就快速逼近了真正的解

这个方法既适合手算，也适合编程序去计算

事实上，牛顿-拉弗森方法是用函数 $f(x)$ 的泰勒级数的前几项来寻找方程 $f(x)=0$ 的根

这个方法还可以用于其他方程的求解，式子是这样的

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

这个式子是有使用条件的

此外，这个方法还可以用于求极值点

$x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$

Knighthana

2023/04/02

[1] 如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法？ https://www.matongxue.com/madocs/205/

[2] 牛顿法 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A1%BF%E6%B3%95

[3] 有趣数学-Bilibili https://www.bilibili.com/video/BV1KT4y1N7Sq/

[3’] Newton-Raphson method | Animated and explained | Algorithm for finding roots of a function Youtube https://www.youtube.com/watch?v=qlNqPE_X4ME

Newton-Raphson; sqrt(); Carmack