某几个常见分布的“无后效性”

某几个常见分布的“无后效性”

在概率论与数理统计课程的学习中，一般都会了解到指数分布具有“无后效性”，或者说无记忆性这样一个性质，例如一件产品的寿命符合指数分布，那么何时检查它的寿命，得到的结果和它已经工作了多久是无关的；

到了随机过程部分内容的学习，学到了“马尔科夫链”这个重要且强大的分析工具，还有它所提供的诸如“一步状态转移概率矩阵”这样的能够将问题抽象到可以用数学工具方便地解决的程度的模型

那么不妨进行一些数学工作，找出并证明一些常见分布具有“无后效性”的性质，这样对于具有这些分布的随机过程运用起“马尔科夫链”来就不会犯嘀咕了

几何分布的无后效性

几何分布 $$P(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p$$

需要证明

$$P(X=m+n|X>n)=P(X=m)$$

证明： $$\begin{aligned} 等式左边 &=P(X=m+n|X\ge n)\\ &=\frac{P(X=m+n,X\ge n)}{P(X\ge n)}\\ &=\frac{(1-p)^{m+n-1}\cdot p}{(1-p)^n}\\ &=(1-p)^{m-1}\cdot p \end{aligned}$$

$$等式右边=(1-p)^{m-1}\cdot p$$

于是，等式左边=等式右边，证毕

负指数分布的无后效性

对于 $X\sim E(\lambda)$ 有

$$F(X<x)=1-e^{-\lambda x}$$

需要证明

$$P(T>t+s|T>t)=P(T>s)$$

证明：

$$\begin{aligned} 等式左边 &=\frac{P(T>t+s,T>t)}{P(T>t)}\\ &=\frac{1-P(T\le t+s)}{1-P(\le t)}\\ &=\frac{1-F(t+s)}{1-F(t)}\\ &=\frac{e^{\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}\\ &=e^{-\lambda s} \end{aligned}$$

$$等式右边=1-F(s)=e^{-\lambda s}$$

于是，等式左边=等式右边，证毕

泊松过程(搁置)

泊松过程的公式和泊松分布的公式不太一样，暂时搁置

Knighthana

2023/04/05