四个人三种卷子的概率问题
四个人三种卷子的概率问题
有甲乙丙丁四人，ABC三种卷子 每人可以选一种卷子， 求四人选到所有三种卷子的概率
解：将四人分成三组，然后为三组分配三种不同的卷子，并求出这样分配得到的方法数量
因为已知四个人对三种选择进行不放回抽样，一共可以得到3⁴，也即3x3x3x3共81种取法
现在设法求出其中能够将三种全部分配的取法，就可以得到所求的概率
考虑将4人分作互相独立的三组，然后对三组分配不同的卷子，来获得所有分配方法的数量
将4人分作互相独立的三组一共有多少分法：
(C(41)×C(31)×C(22))/A(22) = 6 种分法
解释：
C(41)从4人中任取一人划为第一组，
C(31)从剩下的3人中任取一人划为第二组，
C(22)再将剩下的两人分为第三组，
由于上述过程最终求出的结果中，C(41)×C(31)计算过程产生了重复的情况
因此除以一个A(22)，除以该A(22)的含义为，在从4人中确定了2人一定为一组的情况下，将另外2人所有的排列情况归为同一种情况
引申：5人分为4组，6人分为5组的情况：
当5人分为4组时，会产生六种重复情况，这六种情况实际上是将2个分为一组的成员除去后，剩下的3个成员之间排列构成的六种情况，很容易得到规律，此时重复了A(33)种情况；
推广为6人分为5组时，也很容易验证到，将2名成员固定为一组后，剩下的4个成员之间产生了A(44)种排列构成的重复情况；
也即，X人分为X-1组时，将其中2人恒为一组，剩下的成员之间会产生X-2种排列，由此产生A(X-2,X-2)种重复的分组结果，需要对应地将其除去；
于是将4人分为3组的过程一共获得了6种互相无关的分法
考虑到一共有3种卷子，3种卷子分给3个组一共有A(33)种分法，也即3×2×1一共6种分法
将这两部分的各个分法情况数量相乘，则一共能够获得6×6=36种符合要求的分法
再将这么多数量的分法与总共的81种分法相比，获得36/81这个概率，化简得4/9；
Knighthana
2021/11/26